О группах Фробениуса, порожденных квадратичными элементами

Автоморфизм $a$ группы $X$ называется квадратичным, если существуют целые числа $m=m(a)$, $n=n(a)$ такие, что для любого $x\in X$ справедливо равенство $x^{a^2}=x^n(x^m)^a= x^nx^{ma}$. Если $G$ – группа Фробениуса, то элемент $g\in G$ называется квадратичным, если $g$ индуцирует при сопряжении в ядре группы $G$ квадратичный автоморфизм. По определению, группа $H$, действующая на группе $F$, действует свободно, если $f^h=f$ для $f\in F$, $h\in H$ только при $f=1$ или $h=1$. Доказывается, что группа Фробениуса, порожденная двумя квадратичными элементами, конечна и ее ядро коммутативно. В частности, конечна любая группа Фробениуса, порожденная двумя элементами, порядки которых не превосходят числа 4. Кроме того, доказывается, что группа Фробениуса с конечно порожденным разрешимым ядром конечна. Эти результаты используются для доказательства того, что конечной будет группа $G$, действующая свободно на абелевой группе, в случае, когда $G$ порождается элементами порядка 3 и порядок произведения любых двух элементов порядка 3 из $G$ конечен.