О $p$-группах автоморфизмов абелевых $p$-групп,

Рассматривается действие $p$-группы $G$ на абелевой $p$-группе $A$, которая считается точным правым $\mathbb Z G$-модулем. Целью является установление связи между периодами ядер индуцированного действия $G$ на элементарных $p$-группах $A/pA$ и $\Omega_1(A)=\{x\in A\mid px=0\}$; эти ядра обозначаются через $C_G(A/pA)$ и $C_G(\Omega_1(A))$ соответственно. Доказывается, что если период одного из ядер $C_G(A/pA)$ или $C_G(\Omega_1(A))$ конечен, то и другое ядро имеет конечный период, ограниченный в терминах периода первого; кроме того, эти ядра будут нильпотентны. В одном случае налагается дополнительное ограничение $\bigcap\limits_{i=1}^\infty p^iA=0$. Сплетение $C_{p^\infty}\wr G$ квазициклической группы с произвольной $p$-группой $G$ показывает, что это условие опустить нельзя. Полученные результаты используются для подтверждения в одном частном случае гипотезы об ограничении на ступень разрешимости конечной группы с автоморфизмом порядка 2, все неподвижные точки которого центральны (разрешимость таких групп, а также сведение к случаю 2-группы установлены ранее В. Д. Мазуровым и Т. Л. Недорезовым).