О квадратичных автоморфизмах абелевых групп

Изучаются подгруппы групп автоморфизмов абелевых групп $G$, порожденные квадратичными автоморфизмами, т.е. автоморфизмами, каждый из которых как элемент кольца эндоморфизмов группы $G$ является корнем квадратного уравнения $x^2+\alpha x+\beta\cdot 1$ с целыми коэффициентами. Важнейшими примерами квадратичных автоморфизмов служат элементы порядков 3 и 4 в группах регулярных автоморфизмов: они являются корнями уравнений $x^2+x+1$ и $x^2+1$ соответственно. Пусть группа $A$ порождается двумя квадратичными автоморфизмами $a,b$ абелевой группы $G$. Имеют место следующие утверждения: 1) если период $m$ группы $G$ и порядок $n$ произведения $ab$ конечны, то $A$ – конечная группа, порядок которой не превосходит $m^{2n}-1$; 2) если $A$ – периодическая группа, то она конечна. При этом показывается, что в п. 1 оба условия конечности существенны. Как следствие этих результатов получается описание периодических групп регулярных автоморфизмов, порожденных двумя автоморфизмами, порядки которых не превосходят числа 4.