Сложность операции обращения в группах

Доказывается, что если ${\mathscr A}=(A,\cdot)$ — группа, вычислимая за полиномиальное время (${\rm P}$-вычислимая), то существует ${\rm P}$-вычислимая группа ${\mathscr B}=(B,\cdot)\cong{\mathscr A}$, в которой операция $x^{-1}$ тоже ${\rm P}$-вычислима. С другой стороны, доказывается, что если центр $Z({\mathscr A})$ группы ${\mathscr A}$ содержит элемент бесконечного порядка, то при некоторых дополнительных условиях существует ${\rm P}$-вычислимая группа ${\mathscr B}'=(B',\cdot)\cong{\mathscr A}$, в которой операция $x^{-1}$ не является примитивно рекурсивной. Устанавливается также общий факт из теории ${\rm P}$-вычислимых структур: если ${\mathscr A}$ — ${\rm P}$-вычислимая структура, и $E\subseteq A^{2}$ — ${\rm P}$-вычислимая конгруэнция в ${\mathscr A}$, то фактор-структура ${\mathscr A} / E$ изоморфна некоторой ${\rm P}$-вычислимой структуре.