Проектирования полулокальных колец

Рассматриваются ассоциативные кольца. Под решёточным изоморфизмом (иначе проектированием) кольца $R$ на кольцо $R^{\varphi}$ понимается изоморфизм $\varphi$ решётки подколец $L(R)$ кольца $R$ на решётку подколец $L(R^{\varphi})$ кольца $R^{\varphi}$. Пусть $M_n(GF(p^k))$ — кольцо всех квадратных матриц порядка $n$ над конечным полем $GF(p^k)$, где $n,k$ — натуральные числа, $p$ — простое число. Конечное кольцо $R$ с единицей называется полулокальным (примарным) кольцом, если $R/{\rm Rad} R\cong M_n(GF(p^k))$. Известно, что конечное кольцо $R$ с единицей является полулокальным кольцом тогда и только тогда, когда $R\cong M_n(K)$, а $K$ — конечное локальное кольцо. Здесь изучаются решёточные изоморфизмы конечных полулокальных колец. Доказывается, что если $\varphi$ — это проектирование кольца $R=M_n(K)$, где $K$ — произвольное конечное локальное кольцо, на кольцо $R^{\varphi}$, то $R^{\varphi}=M_n(K')$, при этом $K'$ — локальное кольцо, решёточно изоморфное кольцу $K$. Тем самым, доказывается решёточная определяемость класса полулокальных колец.