О категории отношений эквивалентности

Устанавливается несколько первоначальных фактов о категории ${\mathbb{E}\mathrm{q}}$ отношений эквивалентности на множестве натуральных чисел, где морфизмом между двумя отношениями эквивалентности $R,S$ является отображение из множества классов эквивалентности $R$ во множество классов эквивалентности $S$, индуцированное вычислимой функцией. Рассматриваются некоторые полные подкатегории ${\mathbb{E}\mathrm{q}}$, напр., категория ${\mathbb{E}\mathrm{q}}(\Sigma^0_1)$ позитивных отношений эквивалентности, категория ${\mathbb{E}\mathrm{q}}(\Pi^0_1)$ негативных отношений эквивалентности, и категория ${\mathbb{E}\mathrm{q}}({\mathrm{Dark}}^*)$, чьими объектами являются тёмные позитивные отношения и позитивные отношения, имеющие только конечное число классов эквивалентности. Хотя во всех этих категориях мономорфизмы совпадают с инъективными морфизмами, показывается, что в ${\mathbb{E}\mathrm{q}}(\Sigma^0_1)$ эпиморфизмы совпадают с сюръективными морфизмами, но в ${\mathbb{E}\mathrm{q}}(\Pi^0_1)$ существуют эпиморфизмы, не являющиеся сюръективными. Более того, ${\mathbb{E}\mathrm{q}}$, ${\mathbb{E}\mathrm{q}}(\Sigma^0_1)$ и ${\mathbb{E}\mathrm{q}}({\mathrm{Dark}}^*)$ замкнуты относительно конечных произведений, бинарных копроизведений и коуравнителей, но в ${\mathbb{E}\mathrm{q}}(\Pi^0_1)$ найдётся пара морфизмов, чей коуравнитель в ${\mathbb{E}\mathrm{q}}$ не является объектом в ${\mathbb{E}\mathrm{q}}(\Pi^0_1)$.