Структура $k$-замыканий конечных нильпотентных групп подстановок

Пусть $G$ — группа подстановок множества $\Omega$, и $k$ — натуральное число. $k$-замыканием группы $G$ называется наибольшая по включению подгруппа $G^{(k)}$ в $\mathrm{Sym} (\Omega)$ c теми же, что и у $G$ орбитами при покомпонентном действии на множестве $\Omega^k$. Доказывается, что $k$-замыкание конечной нильпотентной группы совпадает с прямым произведением $k$-замыканий всех её силовских подгрупп.