Универсальные функции и $\Sigma_{\omega}$-ограниченные структуры

Вводится понятие $\Sigma_{\omega}$-ограниченной структуры и указывается необходимое и достаточное условие для существования в наследственно конечной надстройке над такой структурой универсальной $\Sigma$-функции для класса всех унарных частичных $\Sigma$-функций, принимающих значения из множества $\omega$ натуральных ординалов. Приводятся примеры деревьев и эквивалентностей в наследственно конечных надстройках, над которыми отсутствует универсальная $\Sigma$-функция для класса всех унарных частичных $\Sigma$-функций, но существует универсальная $\Sigma$-функция для класса всех унарных частичных $\Sigma$-функций, принимающих значения из множества $\omega$ натуральных ординалов. Строится дерево $T$ высоты $5$, такое что в наследственно конечной надстройке ${\mathbb {HF}}(T)$ над $T$ нет универсальной $\Sigma$-функции для класса всех унарных частичных $\Sigma$-функций, принимающих лишь значения $0,1$.