Полугруппа теорий и её решётка идемпотентных элементов

На множестве всех теорий первого порядка $T(\sigma)$ языка $\sigma$ определяется бинарная операция $\{\cdot\}$ по правилу: $T\cdot S={\rm Th} (\{A\times B\mid A\models T\text{ и }B\models S\})$ для любых теорий $T,S\in T(\sigma)$. Структура $\langle T(\sigma);\cdot\rangle$ образует коммутативную полугруппу, которая называется полугруппой теорий.
Доказывается, что полугруппа теорий является идеальным расширением некоторой полугруппы $S^*_T$ с помощью полугруппы $S_T$. Множество всех идемпотентных элементов полугруппы теорий образует полную решётку относительно частичного порядка $\leq$, определённого как $T\leq S$ тогда и только тогда, когда $T\cdot S=S$, для любых $T,S\in T(\sigma)$. Кроме того, множество всех идемпотентных полных теорий образует полную решётку относительно частичного порядка $\leq$, которая не обязательно является подрешёткой решётки идемпотентных теорий.