О вложениях Шмелькина для абстрактных и проконечных групп

Хорошо известно вложение Магнуса, которое позволяет, исходя из группы $A=F/R$, где $F$ – свободная группа, получить представление группы $F/[R,R]$ в качестве подгруппы полупрямого произведения $AT$, где $T$ – аддитивная группа свободного $ZA$-модуля. А. Л. Шмелькин обобщил эту конструкцию и нашел вложение для группы $F/\mathcal{V}(R)$, где $\mathcal{V}(R)$ – вербальная подгруппа группы $R$, соответствующая многообразию $\mathcal{V}$. Позднее он рассмотрел в качестве $F$ свободное произведение произвольных групп и при условии, что $R$ содержится в декартовой подгруппе произведения, указал вложение для группы $F/\mathcal{V}(R)$. Здесь объединяются оба вложения Шмелькина и ослабляется условие на $R$: предположим, что группа $F$ является свободным произведением групп $A_i$ ($i\in I$) и свободной группы $X$, а ее нормальная подгруппа $R$ имеет тривиальное пересечение с каждым множителем $A_i$. При этих условиях находится вложение группы $F/\mathcal{V}(R)$, назовем его общим вложением Шмелькина. Для случая, когда $\mathcal{V}$ – абелево многообразие групп, указывается критерий принадлежности элементов из $AT$ вложенной группе $F/\mathcal{V}(R)$. Аналогичные результаты доказываются и для проконечных групп.