О конечной базируемости по допустимости модальных логик ширины $2$

Доказывается, что любая финитно аппроксимируемая и конечно аксиоматизируемая модальная логика ширины $2$ над $\mathbf{K4}$ имеет конечный базис для допустимых правил вывода. Отсюда, в частности, следует, что любая финитно аппроксимируемая конечно аксиоматизируемая модальная логика ширины или глубины не более $2$ имеет конечный базис по допустимости (среди логик большей глубины или ширины существуют логики без конечного (и даже без независимого) базиса для допустимых правил вывода).