Об элементарной эквивалентности свободных алгебр многообразий Кантора

Исследуются свойства свободных алгебр многообразий Кантора $C_{m,n}$. Свободную алгебру ранга $r$ в многообразии $C_{m,n}$ обозначим через $F_{C_{m,n}}(r)$. Доказываются следующие утверждения: 1) любые две $C_{m,n}$-свободные алгебры $F_{C_{m,n}}(r)$ и $F_{C_{m,n}}(s)$ рангов $r$ и $s$, где $r$ и $s$ – произвольные кардиналы (конечные или бесконечные), $r\ge m$, $s\ge m$, элементарно эквивалентны; 2) любые две $C_{m,n}$-свободные алгебры $F_{C_{m,n}}(r)$ и $F_{C_{m,n}}(s)$ рангов $r$ и $s$, где $r$ и $s$ – произвольные кардиналы (конечные или бесконечные), универсально эквивалентны, т. е. имеют одну и ту же $\forall$-теорию; 3) элементарная теория $\operatorname{Th}(F_{C_{m,n}}(r))$ произвольной $C_{m,n}$-свободной алгебры ранга $r$ (конечного или бесконечного), рассматриваемая в сигнатуре $\Omega$, разрешима; 4) элементарная теория $\operatorname{Th}(K)$ произвольного непустого класса свободных алгебр из многообразия $C_{m,n}$, рассматриваемая в сигнатуре $\Omega$, разрешима.