Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных простых группах

Находятся верхние границы порядков абелевых подгрупп в конечных простых группах (в случае знакопеременных и классических групп эти оценки точные или близкие к точным). Более точно, доказывается следующая
Теорема А. Пусть $G$ – неабелева конечная простая группа и $G\ncong L_2(q)$, где $q=p^t$ для некоторого простого числа $p$. Пусть $A$ – абелева подгруппа группы $G$. Тогда $|A|^3<|G|$.
Доказательство использует классификацию конечных простых групп. В качестве следствия получается
Теорема В. Неабелева конечная простая группа $G$ представима в виде $ABA$, где $A$, $B$ – ее абелевы подгруппы, тогда и только тогда, когда $G\cong L_2(2^t)$ для некоторого $t>2$, причем $|A|=2^t+1$, $|B|=2^t$ и $A$ – циклическая группа, а $B$ – элементарная 2-группа.