Распознавание конечных групп по множеству порядков их элементов

Для конечной группы $G$ через $\omega(G)$ обозначается множество порядков элементов группы $G$. Если $\omega$ – подмножество множества натуральных чисел, то через $h(\omega)$ обозначается число попарно не изоморфных групп $G$ таких, что $\omega(G)=\omega$. Скажем, что группа $G$ распознаваема (по $\omega(G))$, если $h(\omega(G))=1$. Группа $G$ почти распознаваема (соответственно, нераспознаваема), если число $h(\omega(G))$ конечно (соответственно, бесконечно). Показывается, что почти простые группы $PGL_n(q)$ нераспознаваемы для бесконечного числа пар $(n,g)$. Кроме того, доказывается, что простая группа $S_4(7)$ распознаваема, а группы $A_{10}$, $U_3(3)$, $U_3(5)$, $U_3(7)$, $U_4(2)$ и $U_5(2)$ нераспознаваемы. Отсюда следует
Теорема. Пусть $G$ – конечная простая группа, простые делители порядка которой не превосходят числа $11$. Тогда справедливо одно из следующих утверждений: (i) группа $G$ изоморфна $A_5$, $A_7$, $A_8$, $A_9$, $A_{11}$, $A_{12}$, $L_2(q)$, $q=7,8,11,49$, $L_3(4)$, $S_4(7)$, $U_4(3)$, $U_6(2)$, $M_{11}$, $M_{12}$, $M_{22}$, $HS$ или $M^cL$ и $G$ распознаваема по множеству $\omega(G)$; (ii) группа $G$ изоморфна $A_6$, $A_{10}$, $U_3(3)$, $U_4(2)$, $U_5(2)$, $U_3(5)$ или $J_2$, и $G$ нераспознаваема; (iii) группа $G$ изоморфна $S_6(2)$ или $O_8^+(2)$ и $h(\omega(G))=2$.