О классах Леви, порожденных нильпотентными группами

Пусть $L(\mathcal M)$ – класс всех групп $G$, в которых нормальное замыкание $(x)^G$ любого элемента $x$ принадлежит классу $\mathcal M$. Класс $L(\mathcal M)$ – класс Леви, порожденный $\mathcal M$. Пусть $\mathcal N$, $\mathcal N_0$ – классы конечно-порожденных нильпотентных групп и конечно-порожденных нильпотентных групп без кручения соответственно. Доказывается, что $q\mathcal N_0\subset L(q\mathcal N_0)$ и $q\mathcal N\subset L(q\mathcal N)$, а поэтому $L(q\mathcal N_0)\ne qL(\mathcal N_0)$ и $L(q\mathcal N)\ne qL(\mathcal N)$. Показывается, что квазимногообразия $L(q\mathcal N)$ и $L(q\mathcal N_0)$ замкнуты относительно свободных произведений, причем каждое из этих квазимногообразий содержит не более одного максимального собственного подквазимногообразия. Доказывается, что если квазимногообразие $\mathcal M$ замкнуто относительно свободных произведений, то таковым же является квазимногообразие $L(\mathcal M)$.