О $PI$-кольцах и полупервичных кольцах, имеющих точный модуль с размерностью Крулля

Доказывается, что если $PI$-кольцо $R$ имеет точный левый $R$-модуль $M$ с размерностью Крулля, то его первичный радикал $\operatorname{rad}(R)$ нильпотентен. Если, сверх того, $R$-модуль $M$ и левый идеал $_R(\operatorname{rad}(R))$ конечно-порождены, то $R$ имеет левую размерность Крулля, равную размерности Крулля модуля $M$. Оказывается, что полупервичное кольцо, которое имеет точный (левый или правый) модуль с размерностью Крулля, является конечным подпрямым произведением первичных колец. Кроме того, 1) артиново справа кольцо $R$ такое, что $\operatorname{rad}(R)^2=0$, имеет точный артинов циклический левый модуль; 2) конечно-порожденная полупервичная $PI$-алгебра над полем имеет артинов точный модуль. Приводятся примеры, показывающие существенность наложенных ограничений, а также пример конечно-порожденной первичной $PI$-алгебры над полем, которая не является нётеровой и имеет размерность Крулля.