О допустимых правилах полимодальной логики $S5_nC$

Изучаются полимодальные логики, имеющие $n$ модальных связок $\Box_1,\dots,\Box_n$, каждая из которых удовлетворяет аксиомам $S5$ и, кроме того, выполняются законы коммутирования $\Box_i\Box_jp\equiv\Box_j\Box_ip$, $i,j=1,\dots,n$ . Доказываются следующие результаты: 1) логика $S5_nC$ не является локально конечной; 2) правило вывода $A(p_1,\dots,p_m)/B(p_1,\dots,p_m)$ не является допустимым в $S5_nC$ тогда и только тогда, когда $(\Box_1\cdots\Box_nA\to B)\notin S5_nC$ и на одноэлементной модели $\mathfrak{E}$ существует такое означивание переменных $p_1,\dots,p_m$, что $\mathfrak{E}\Vdash A$.