Инвариант Бири–Штребеля и гомологические условия конечности для метабелевых групп

Группа $\Gamma$ имеет тип $FP_n$, если тривиальный $\mathbb{Z}\Gamma$-модуль $\mathbb{Z}$ обладает проективной резольвентой $\mathcal{P}\cdots P_n\to\cdots\to P_1\to P_0\twoheadrightarrow\mathbb{Z}$, в которой $\mathbb{Z}\Gamma$-модули $P_n,\dots,P_1,P_0$ конечно-порождены. Пусть конечно-порожденная группа $\Gamma$ является расщепляемым расширением абелевой группы $M$ с помощью абелевой группы $Q$, $M$ не имеет кручения и $\Gamma\in FP_m$, $m\ge2$. Тогда инвариант $\Sigma_M^c$ является $m$-ручным.