О пересечении силовских подгрупп в конечных группах

Доказываются следующие результаты.
Теорема 1. Пусть $p$ – простое число.
1. Если $G=S_n$ – симметрическая группа степени $n$, то в $G$ тогда и только тогда существует тривиальное пересечение двух силовских $p$-подгрупп, когда $(p,n)\notin\{(3,3),(2,2),(2,4),(2,8)\}$.
2. Если $H=A_n$ – знакопеременная группа степени $n$, то в $H$ тогда и только тогда существует тривиальное пересечение двух силовских $p$-подгрупп, когда $(p,n)\notin\{(3,3),(2,4)\}$.
Теорема 2. Если $G$ – конечная простая неабелева группа, $p$ – простое число, то в $G$ есть две силовские $p$-подгруппы с тривиальным пересечением.
Следствие. Если $P$ – силовская подгруппа конечной простой неабелевой группы $G$, то $|G|>|P|^2$.