Нильпотентные группы, допускающие почти регулярный автоморфизм порядка $4$

Рассматриваются локально нильпотентные периодические группы, допускающие почти регулярный автоморфизм порядка $4$. Доказываются следующие теоремы.
Теорема 1. Если локально нильпотентная периодическая группа $G$ допускает автоморфизм $\varphi$ порядка $4$, имеющий ровно $m<\infty$ неподвижных точек, то
а) подгруппа $[G,\varphi^2]$ содержит подгруппу $m$-ограниченного индекса в $[G,\varphi^2]$, которая нильпотентна $m$-ограниченной ступени;
б) группа $G$ содержит подгруппу $V$ $m$-ограниченного индекса такую, что подгруппа $[V,\varphi^2]$ нильпотентна $m$-ограниченной ступени.
Теорема 2. Если локально нильпотентная периодическая группа $G$ допускает автоморфизм $\varphi$ порядка $4$, имеющий ровно $m<\infty$ неподвижных точек, то она содержит подгруппу $m$-ограниченного индекса $V$ такую, что для некоторого $m$-ограниченного числа $f(m)$ подгруппа $[V,\varphi^2]^{f(m)}$, порожденная всеми $f(m)$-ми степенями элементов из $[V,\varphi^2]$, нильпотентна ступени $\le3$.