Нормальные автоморфизмы в многообразии $\mathcal{N}_2\mathcal{A}$ про-$p$-группы

Автоморфизм (проконечной) группы называется нормальным, если он сохраняет каждую (замкнутую) нормальную подгруппу. Автоморфизм абстрактной группы называется $p$-нормальным, если он сохраняет каждую нормальную подгруппу конечного индекса, который является степенью простого числа $p$. Очевидно, что внутренний автоморфизм группы будет нормальным и $p$-нормальным. Для некоторых групп удается доказать и обратное утверждение. Н. С. Романовский и В. Ю. Болуць установили, что для свободной $2$-ступенно разрешимой про-$p$-группы существуют нормальные, не являющиеся внутренними, автоморфизмы. Пусть $\mathcal{N}_2$ обозначает многообразие $2$-ступенно нильпотентных групп, $\mathcal{A}$ – многообразие абелевых групп.
Теорема 1. Если $p$ – простое число, отличное от $2$, то нормальный автоморфизм свободной в многообразии $\mathcal{N}_2\mathcal{A}$ про-$p$-группы ранга $\ge2$ является внутренним.
Теорема 2. Если $p$ – простое число, отличное от $2$, то $p$-нормальный автоморфизм абстрактной свободной $\mathcal{N}_2\mathcal{A}$-группы ранга $\ge2$ является внутренним.