Позитивные теории свободных моноидов

Доказывается, что свободные моноиды $\mathfrak{M}_n$ и $\mathfrak{M}_m$ ($2\le n<m\le\omega$) рангов $n$ и $m$ в сигнатуре $\langle\cdot,1,a_1,\dots,a_k\rangle$ при $k\le n-2$ позитивно эквивалентны, а при $k>n-2$ не являются позитивно эквивалентными. Доказаны
Следствие 1. Любые два немоногенных моноида позитивно эквивалентны в сигнатуре $\langle\cdot,1\rangle$.
Следствие 2. Позитивная теория $\mathrm{Th}^+(\mathfrak{M}_n)$ свободного моноида конечного ранга $n\ge2$ в сигнатуре $\langle\cdot,1,a_1,\dots,a_{n-2}\rangle$ разрешима, а в сигнатуре $\langle\cdot,1,a_1,\dots,a_{n-1}\rangle$ неразрешима.