Об одном вопросе Л. А. Шеметкова

С использованием классификации конечных простых групп дается положительный ответ на следующий вопрос Л. А. Шеметкова из “Коуровской тетради” (вопрос 3.61):
Пусть $\sigma$ – автоморфизм простого порядка $p$ конечной группы $G$, имеющей холлову $\pi$-подгруппу с циклическими силовскими подгруппами. Пусть $p\in\pi$. Верно ли, что $C_G(\sigma)$ обладает по крайней мере одной холловой $\pi$-подгруппой?