Допустимые множества в теории групп

Изучаются выразительные возможности $HF$-логики $\omega$-логики для групповых конструкций. Пусть $A$, $B$ – группы, обозначим через $G$ либо свободное произведение групп $A$, $B$, либо свободную $A$-операторную группу, либо целочисленное групповое кольцо. Во всех случаях на $G$ естественным образом определяются целочисленная функция длины $||:G-N$ и модель $G=\langle G,N;||\rangle$. Первая часть результатов показывает, что добавление к сигнатуре $G$ функции длины, т.е. рассмотрение модели $G_\omega$, эквивалентно $HF$-надстройке над исходным алгебраическим объектом, в качестве которого выступает или группа $A$, или предгруппа $P(A,B)$. Вторая часть результатов дает описание минимальных чисто сигнатурных расширений системы $G$, которые по выразительной силе не уступают $G_\omega$ и $HF(G)$. В качестве следствия из полученных результатов получаются, например, все известные до сих пор результаты о расширенных теориях свободных групп.