О тождествах конечномерных нильпотентных алгебр

Доказывается следующая
Теорема. Пусть $R$ — нильпотентная $n$-мерная ассоциативная алгебра, $\dim R^2/R^3\leqslant 2$. Тогда $R$ удовлетворяет тождеству $S_k(x_1,\dots,x_k)=\sum_{\sigma\in S_k}(-1)^\sigma x_{\sigma(1)}\dots x_{\sigma(k)}=0$, где $k=\left[\frac{1+\sqrt{1+8n}}2\right]$.
Следствие. Для $n\leqslant12$ и $n=15$ всякая нильпотентная $n$-мерная алгебра удовлетворяет тождеству $S_k(x_1,\dots,x_k)=0$, где $k=\left[\frac{1+\sqrt{1+8n}}2\right]$, причем это тождество минимально.