Группы с конечно вложенной инволюцией

Если $i$ — инволюция из группы $G$, обозначим $\mathscr{L}_i=\{i^g\mid g\in G\}$. Инволюцию $i$ назовем конечно вложенной в $G$, если для любого элемента $g$ из $G$ пересечение $(\mathscr{L}_i\cdot\mathscr{L}_i)\cap g\, C_G(i)$ конечно. Пусть $G$ — группа, $i$ — ее конечно вложенная инволюция, $B=\text{гр}(\{i^g\mid g\in G\})$, $R=(\mathscr{L}_i,\mathscr{L}_i)$, $Z$ — подгруппа, порожденная всеми $2$-элементами из $R$, и пара $(G,i)$ удовлетворяет условию: подгруппы вида $\text{гр}(i, i^g)$ конечны для всех $g\in G$. Доказывается, что тогда имеет место одно из утверждений: 1) $B$ — конечная подгруппа; 2) подгруппа $B$ локально конечна, $B=R\leftthreetimes(i)$ и $Z$ является конечным расширением полной абелевой $2$-подгруппы $A_2$ с условием минимальности, причем $ici=c^{-1}$ для любого элемента $c$ из $A_2$.
Из этой теоремы выводится ряд следствий, в частности, такое: пусть $G$ — периодическая группа, $H$ — ее собственная подгруппа, содержащая инволюцию $i$, и $(G, H)$ — пара Фробениуса. Группа $G$ тогда и только тогда является группой Фробениуса с дополнением $H$, когда $i$ — конечно вложенная инволюция в $G$. На примерах можно показать, что в этом утверждении ограничение “конечно вложенная инволюция” нельзя отбросить.