Модельная полнота теории и оценка формул

Решается проблема А. Макинтайра, сформулированная, в частности, в Справочной книге по математической логике, т. 1, гл. 4, с. 175. А именно, доказывается, что хорново аксиоматизируем класс $\mathcal{K}^*=\{K\mid \{K_p\}\models T^*, K\models\Phi_1\land\Phi_2\land\Phi_3\}$, где $K$ — кольцо, $T^*$ — модельный компаньон для теории $T$ в языке теории колец, а $\Phi_1$, $\Phi_2$, $\Phi_3$ — соответственно свойства нормальности, безатомности и абелевости кольца $K$. При условии булевой абсолютности этот класс модельно полон и еще при условии вполне автономности теории $T^*$ он взаимно вложим с классом $\mathcal{K}=\{K\mid \{K_p\}\models T\}$. Здесь $\{K_p\}$ — пирсовская система локализаций кольца $K$. Отсюда, например, вытекает, что класс колец, все локализации которых элементарно эквивалентны телу кватернионов, модельно полон, а также вытекают другие следствия такого типа. Эти результаты обобщаются на общие алгебраические системы, а также на случаи иных систем локализаций, чем пирсовская (общие пучки над стоуновым пространством) и свойства полноты и разрешимости вместо свойства наличия модельного компаньона.