О сплетении $Z$-групп

Если $G$ — группа, то пусть $\sigma(G)$ обозначает множество всех простых делителей порядков циклических групп вида $\text{гр}(x^G)/[\text{гр}(x^G), G]$, $x\in G$, $x\ne1$, причем в $\sigma(G)$ включается также число $0$, если среди указанных групп есть бесконечная циклическая группа. Доказывается, что если $A$, $G$ — две $Z$-группы и выполнено одно из условий а) $\sigma(A)=\{0\}$, б) $\sigma(G)=\{0\}$, в) $\sigma(A)=\{0, p\}$, $\sigma(G)=\{0, p\}$, где $p$ — простое число, то прямое сплетение $A \wr G$ само является $Z$-группой, причем $\sigma(A \wr G)=\sigma(A)\cup \sigma(G)$. Доказывается также, что свободное произведение любого множества $Z$-групп является $Z$-группой.