Группы с регулярными элементарными $2$-группами автоморфизмов

Как показал Шульт (РЖМат 1967, 1А165), нильпотентная длина конечной группы, допускающей регулярную элементарную группу автоморфизмов порядка $2^n$, не превосходит $n$. В данной статье показано, что этот результат можно значительно усилить.
Теорема 1. Существует такая функция $f(x, y)$ двух натуральных переменных, что всякая $k$-ступенно разрешимая периодическая группа $G$, допускающая регулярную элементарную группу автоморфизмов порядка $2^n$, обладает инвариантным рядом $G=H_1\supseteq H_2\supseteq\dots\supseteq H_{n+1}=1$, факторы которого нильпотентны, причем ступень нильпотентности фактора $H_i/H_{i+1}$ не превосходит $f(i, k)$, $1\leqslant i\leqslant n$.
Теорема 2. Пусть $G$ — периодическая группа, допускающая регулярную элементарную группу автоморфизмов порядка $2^n$. Если какой-либо член производного ряда группы $G$, имеющий натуральный номер, является гиперцентральной группой, то $G$ обладает инвариантным рядом $G=H_1\supseteq H_2\supseteq\dots\supseteq H_{n+1}=1$, все факторы которого гиперцентральны.