О некоторых решёточно-инвариантных свойствах семейств рекурсивно-перечислимых множеств

Семейство $\mathcal{A}$ рекурсивно-перечислимых (р.п.) множеств назовем РШ-семейством, если существует сильно перечислимое семейство $\mathcal{D}$ конечных множеств такое, что $\mathcal{A}=\{A\mid A- \text{ р.п. множество и }(\exists D\in\mathcal{D})(D\subseteq A)\}$. Находятся необходимые и достаточные условия на семейство $\mathcal{A}$ р.п.множеств, при которых $\Phi(\mathcal{A})$ является РШ-семейством для любого автоморфизма $\Phi$ решетки р.п. множеств.