О проблеме Хьюза для конечных $p$-групп

Подгруппой Хьюза $H_p(G)$ конечной группы $G$ называется наименьшая подгруппа, вне которой все элементы имеют порядок $p$, где $p$ — заданное простое число. В 1957 г. Хьюз поставил проблему: верно ли, что если подгруппа $H_p(G)$ собственная, то ее индекс равен $p$? Томпсон и Хьюз в 1959 г. дали положительный ответ в случае, когда $G$ не является $p$-группой. Среди $p$-групп Уолл в 1965 г. обнаружил контрпримеры. В настоящей работе получено положительное решение проблемы Хьюза для всех, за исключением конечного числа, конечных $p$-групп с данным числом порождающих, а также для всех конечных $p$-групп, содержащих элементы достаточно большого порядка $p^k$, $k\geqslant\alpha(p)$.