Минимальное подстановочное представление простой группы $F_5$

Пусть $G=F_5$ — спорадическая простая группа порядка $273\ 030\ 912\ 000\ 000$. Доказывается, что минимум $n(G)$ индексов собственных подгрупп группы $G$ равен $1\ 140\ 000$; любая подгруппа из $G$ индекса $n(G)$ изоморфна знакопеременной группе степени $12$ и все такие подгруппы сопряжены (теорема $1$) . Подстановочное представление группы $F_5$ на смежных классах по подгруппе, изоморфной группе $A_{12}$, имеет ранг $12$. Соответствующие стабилизаторы двух точек изоморфны группам $A_{12}$, $(S_3\wr A_4)^+$, $(S_6\wr S_2)^+$, $((S_5\wr S_2)\times S_2)^+$, $M_{12}$, $M_{12}$, $PSL(2, 11)$, $(S_2\wr S_6)^+$, $S_6\times Z_2$, $S_6\times Z_2$, $Z_2^6\cdot Z_3^2\cdot Z_3\cdot Z_2$, $Z_2^5\cdot S_4$ (теорема $2$). Если $H$ — изоморфная $A_{12}$ подгруппа группы $G=F_5$, то для любой собственной подгруппы $A$ группы $G$ выполняется неравенство $HA\ne G$. В частности, в $G$ нет широких подгрупп (теорема $3$).