К теории $n$-лиевых алгебр

Рассматриваются свойства $n$-лиевых алгебр (РЖМат, 1986, 5А 294), связанные с понятиями разрешимости и нильпотентности. В конечномерной $n$-лиевой алгебре $A$ определяется $k$-разрешимый радикал $S_k(A)$, $2\leqslant k\leqslant n$, и доказывается его инвариантность относительно всех дифференцирований алгебры $A$, если характеристика основного поля равна $0$ (при $k=n$ этот результат получен в цит. реф.). На основе предложенного Е. Н. Кузьминым определения нильпотентности для идеалов $n$-лиевой алгебры вводится ниль-радикал конечномерной $n$-лиевой алгебры, который в случае нулевой характеристики также оказывается инвариантным относительно всех дифференцирований. Развиваются основы теории $n$-лиевых модулей и представлений. Для представлений $n$-лиевых алгебр доказаны аналог теоремы Энгеля и ее обобщение на случай мультипликативно замкнутых ниль-систем (аналог теоремы Джекобсона о мультипликативно замкнутых ниль-системах в алгебрах Ли). На $n$-лиевы алгебры, разрешимые в смысле Е. Н. Кузьмина, распространяется теорема Ли о расщепляемых представлениях разрешимых алгебр Ли характеристики $0$. Определяется понятие подалгебры Картана конечномерной $n$-лиевой алгебры, и доказывается существование таких подалгебр, если основное поле имеет достаточно большую мощность. Вводится аналог киллинговой формы, с помощью которого на $n$-лиевы алгебры обобщается принадлежащий Э. Картану критерий разрешимости конечномерных алгебр Ли характеристики $0$.