О древесной разложимости групп автоморфизмов свободных групп

Доказывается, что при действии группы всех или только собственных автоморфизмов свободной группы степени $n\geqslant3$ на дереве без инверсий ребер всегда существует неподвижная вершина. В частности, эти группы непредставимы в виде нетривиального свободного произведения с объединением или $HNN$-расширения. Группа автоморфизмов свободной группы степени $2$ разлагается в нетривиальное свободное произведение с объединением единственным способом с точностью до сопряженности.