О подгруппах некоторых групп алёшинского типа

Продолжается изучение введенных автором ранее групп алёшинского типа, отвечающих последовательности простых чисел $\omega$ ($\mathrm{AT}_\omega$-групп, см. Матем. заметки, 40, № 5 (1986), 572–589). Пусть $\omega$ — некоторая последовательность нечетных простых чисел, $G$ — $\mathrm{AT}_\omega$-группа. Доказывается, что централизатор любого элемента $g\in G$ бесконечен и при $g\ne 1$ имеет в $G$ бесконечный индекс (теорема $2$). Пусть, далее, $G$ — периодическая $\mathrm{AT}_\omega$-группа, $\pi'$, $\pi''$ — множества всех простых чисел, встречающихся в $\omega$ конечное и бесконечное число раз соответственно, $\pi=\pi'\cup\pi''$ и $\omega''=(r_0,r_1,\dots)$ — произвольная последовательность чисел из $\omega$. Доказывается, что любое сплетение
$$ (\dots(\mathbb{Z}_{r_n}\wr\mathbb{Z}_{r_{n-1}})\wr\dots)\wr \mathbb{Z}_{r_0}, \quad n=0, 1, 2, \dots, $$
вкладывается в группу $G$ и, обратно, если последовательность $\omega$ ограничена, то всякая конечная группа $H$, вложимая в $G$, является расширением некоторой подгруппы сплетения указанного вида при помощи некоторой конечной $\pi$-группы $K$, причем порядки всех таких $K$ ограничены в совокупности. В частности, множество $f_{\pi'}(G)$ конечных $\pi'$-групп, вложимых в $G$, конечно (теорема $3$). Если, кроме того, группа $G$ (над ограниченной последовательностью $\omega$) счетна, то всякая ее абелева подгруппа может быть представлена как прямая сумма вида $A'\oplus A''$, где $A'$ — конечная абелева группа из $f_{\pi'}(G)$, $A''$ — не более чем счетная прямая сумма циклических $p$-групп при $p\in\pi''$. Обратно, любая абелева группа из $f_{\pi'}(G)$ и любая не более чем счетная прямая сумма циклических $p$-групп при $p\in\pi''$ вкладываются в группу $G$ (теорема $4$) . В заключение приводятся примеры, указывающие границы возможных обобщений этих теорем.