Конечные $p$-группы, близкие к группам простого периода

При некоторых предположениях о полилинейных тождествах кольца Ли свободной $(1+r(p-1))$-ступенно нильпотентной группы простого периода $p$ построены примеры конечных $p$-групп $P$, в которых порядок подгруппы $\mho_1(P)=\langle x^p\mid x\in P\rangle$ равен $p$, а индекс подгруппы $\Omega_1(P)=\langle x\in P\mid x^p=1\rangle$ не меньше $p^{1+r(p-1)}$ (из работы Уолла (РЖМат, 1975, 7А389) известно, что условие выполняется для $r=2$ и $p=5, 7, 11$). Тем самым дается отрицательный ответ на вопрос Блэкберна и Эспуэласа: верно ли, что если в конечной $p$-группе $P$ $|\mho_1(P)|=p$, то $|P: \Omega_1(P)|\leqslant p^p$? (Авторы вопроса дали положительный ответ в случае, когда $P$ метабелева.) Построенные $p$-группы являются также скрытными $p$-группами в терминологии Уолла (РЖМат, 1976, 2А227) и имеют больший ранг, чем построенные Уоллом. Другое следствие — опровержение гипотезы об индексе обобщенной подгруппы Хьюза: при тех же условиях существует конечная группа $G$, не являющаяся $p$-группой, в которой $|G: H_{p^2}(G)|\geqslant p^{1+r(p-1)}$, где $H_{p^2}(G)=\langle x\in G\mid x^{p^2}\ne1\rangle$. Ранее предполагалось, что для непримарной группы $G$ имеет место неравенство $|G: H_{p^2}(G)|\leqslant p^p$ при $p>2$, и было известно, что это так для $p=3$.