О подгруппах произведения локально-конечных групп

Пусть $S(Z)$ — группа всех перестановок целых чисел, $\overline{G}$ — подгруппа тех перестановок $g\in S(Z)$, для которых $\sup_{\alpha\in Z}|\alpha-\alpha g|<\infty$, $G=\text{гр}\,(g\mid g\in\overline{G}, |g|<\infty)$. Доказано, что $G$ представима в виде произведения двух локально-конечных подгрупп и в группу $G$ вложимы любая счетная свободная группа и $2$-группа Алёшина.