Характеризация групп ${\rm SL}_2(K)$ и ${\rm Sz}(K)$ над локально-конечным полем $K$ характеристики $2$

Группу $G$ и ее подгруппу $H$ назовем парой Шункова, если в $G$ существует инволюция, в централизаторе которой любая бесконечная подгруппа нечетного порядка обладает неединичным элементом с бесконечным централизатором в этой подгруппе, и $H$ бесконечно изолирована в $G$.
Основная теорема. Пусть периодическая группа $G$ и ее сильно вложенная подгруппа $H$, содержащая бесконечное множество инволюций, составляют пару Шункова и пусть в $H$ существует элемент простого порядка $b$, строго вещественный относительно некоторой инволюции $a\in G\setminus H$ и такой, что для любого элемента $c\in C_G(a)$ подгруппы $L_c=\text{гр}\,(b,c^{-1}bc)$ конечны. Тогда справедливо одно из следующих утверждений: 1) $G$ обладает абелевой нормальной подгруппой $B\ne1$, содержащейся в $H$, такой, что все элементы из $B$ строго вещественны относительно любой инволюции из $G$; кроме того, силовские $2$-подгруппы группы $G$ либо локально-циклические (циклические или квазициклические), либо обобщенные группы кватернионов (конечные или бесконечные); 2) $G\simeq \mathrm{SL}_2(K)$ или $\mathrm{Sz}(K)$, где $K$ — локально-конечное поле характеристики $2$.