Решётки конгруэнц-классов алгебр

Пусть $\mathbb{A}$ — алгебра и $C(\mathbb{A})$ — решетка по включению, образованная смежными классами алгебры $\mathbb{A}$ по всевозможным ее конгруэнциям вместе с пустым подмножеством. Доказано, что если алгебра $\mathbb{A}$ имеет по крайней мере три разных элемента и удовлетворяет хотя бы одному из следующих трех условии: 1) в $var(\mathbb{A})$ представимо многообразие $\mathcal{P}$ всех полурешеток, 2) многообразие $var(\mathbb{A})$ конгруэнц-перестановочно, 3) алгебра $\mathbb{A}$ регулярна, то решетка $C(\mathbb{A})$ подпрямо неприводима. Если $\mathbb{A}$ — конечная регулярная алгебра порядка $n\geqslant 3$, то решетка $C(\mathbb{A})$ проста. В частности, для любой конечной группы $\mathbb{G}$ порядка $n\geqslant 3$ решетка $C(\mathbb{G})$ является простой. Решетка $C(\mathbb{P})$ квазициклической группы $\mathbb{P}$ типа $p^\infty$ уже не проста. Существует также трехэлементная алгебра $\mathbb{A}$ из конгруэнц-перестановочного многообразия, для которой решетка $C(\mathbb{A})$ не является простой.