Разрешимость проблемы допустимости в конечнослойных модальных логиках

Доказана разрешимость универсальной теории свободных алгебр многообразия топобулевых алгебр, соответствующего модальной логике $\lambda$ при $\lambda=S4+\sigma_k$, $k<\omega$. Тем самым установлена алгоритмическая разрешимость проблемы допустимости для каждой из логик вида $S4+\sigma_k$. Показано, что свободные алгебры любого многообразия $eq(S4+\sigma_k)$, $k\geqslant 2$, не имеют базиса квазитождеств от конечного числа переменных и имеют наследственно неразрешимую элементарную теорию. Получены следствия для расширений интуиционистской логики.