Субнормальное строение двумерных линейных групп над локальными кольцами

Пусть $R$ — локальное кольцо с обратимым элементом $2$, $m$ — его максимальный идеал и $|R/m|\ne3$. Пусть $I$ — идеал кольца $R$, $\pi_I$ — гомоморфизм группы $GL_2(R)$, индуцированный кольцевым гомоморфизмом $R\to R/I$; $Z_I$ — прообраз центра группы $GL_2(R/I)$ относительно $\pi_I$ и
$$ K_I=\{\sigma\in GL_2(R)\mid \det\sigma=1, \pi_I\sigma=1\}. $$
Назовем весом матрицы $h=\begin{pmatrix} a& b\\ c& d\end{pmatrix}$ идеал $J(h)=(a-d, b, c)$, а весом подгруппы $H$ — сумму $J(H)$ весов ее матриц. Дается следующее описание субнормальных подгрупп групп $G$, заключенной между $SL_2(R)$ и $GL_2(R)$: если $H\triangleleft^d G$, то
$$ K_{I^{f(d)}}\leqslant H\leqslant Z_I, $$
где $I=J(H)$, $f(d)=\frac15(6^d-1)$. Отсюда следует, что подгруппа $H$ группы $GL_2(R)$ тогда и только тогда субнормальна, когда $K_{I^n}\leqslant H\leqslant Z_I$ для некоторого идеала $I$ кольца $R$ и некоторого целого числа $n$.