Конечные группы с самонормализующейся подгруппой порядка $6$. II

В предыдущей работе автора (РЖМат, 1980, 12А190) доказана непростота конечной группы с заглавным свойством. Строение такой группы выясняется в данной статье. Пусть $G$ — конечная группа с самонормализующейся подгруппой $\langle x\rangle$ порядка $6$, $t=x^3$, $f=x^2$. Тогда либо $tO_2(G)\in Z^*(G/O_2(G))$, либо $G=(F(G)\times E(G))\langle f\rangle$, $E(G)\langle f\rangle\simeq^2G_2(3)$ и $f$ действует без неподвижных точек на $F(G)$. В доказательстве этой теоремы используется следующий результат, имеющий самостоятельный интерес. Пусть конечная группа $G$ содержит такую инволюцию $t$, что $N(X)$ — $2$-разложимая группа для любой $2$-подгруппы $X$ из $G$, содержащей $t$. Тогда $tO_2(G)\in Z^*(G/O_2(G))$.