Замечание к теореме Л. Диксона

Показывается, что методы, использованные Л. Диксоном при описании подгрупп группы $PSL_2(q)$, а также теорема Шура позволяют описать периодические линейные группы степени $2$ над произвольным полем. Из основной теоремы вытекает, в частности, следующее предложение. Пусть $A$, $B$ — ненулевые аддитивные подгруппы поля $K$ характеристики $p\ne0$, для которых наименьшее подполе $F$, содержащее произведение $AB$, — периодическое. Тогда группа $G=\text{гр}\left(\begin{pmatrix}1 & A\\ 0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 & 0\\ B&1\end{pmatrix}\right)$ либо сопряжена диагональным элементом из $GL_2(K)$ с $SL_2(F)$, либо $p=|A|=|B|=2$ и $G$ — диэдральная группа, либо $AB=iGF(3)$, $i^2=-1$, и образ $G$ в $PSL_2(K)$ изоморфен знакопеременной группе $A_5$; во всех случаях $G$ содержит элемент вида $\begin{pmatrix}0 &t\\-t^{-1}&0\end{pmatrix}$.