О многообразиях разрешимых про-$p$-групп

Под многообразием про-$p$-групп понимается класс про-$p$-групп, замкнутый относительно операций взятия подгрупп, непрерывных гомоморфных образов и топологических декартовых произведений. Доказывается, что многообразие разрешимых про-$p$-групп, не содержащее все метабелевы группы, есть подмногообразие многообразия $\mathfrak{L}_{p^\alpha}\mathfrak{N}_c\mathfrak{L}_{p^\alpha}$ для некоторых $\alpha$ и $c$. Эта теорема является аналогом известного результата М. И. Каргаполова и В. А. Чуркина для случая дискретных групп (РЖМат, 1972, 8А276). Дается также описание конечно-порожденных про-$p$-групп конечного ранга.