Нетабличность логики ${\rm S}4$ по функциональной полноте

Для модальной логики ${\rm S}4$ найдены функционально полные и независимые в ней множества (формул) любой конечной мощности. Построен пример счетного семейства предполных в этой логике классов модальных формул. То же самое сделано для континуального множества других модальных логик, являющихся ее (нормальными) расширениями. Для этих логик доказано, что они не являются финитно-аппроксимируемыми по функциональной полноте. Таким образом, логика ${\rm S}4$ и многие ее расширения с функциональной точки зрения существенно сложнее всех табличных логик, а также интуиционистской логики высказываний, модальной логики ${\rm S}5$ и даже классической логики предикатов первого порядка.