О спектре квазитрансцендентных теорий

Теория $T$ имеет ограниченный спектр, если существует такое число $\aleph$, что $I(\lambda, T)\leqslant\aleph$ для любого $\lambda$, где $I(\lambda, T)$ — число типов изоморфизма моделей мощности $\lambda$. Вводится понятие "$T$ имеет недвукардинальную базу", и доказывается, что такие теории имеют ограниченный спектр и $\aleph=2^{2^\omega}$. Рассматривается класс квазитрансцендентных теорий, т. е. таких теорий, у которых каждое несущественное расширение имеет простую атомную модель. Для этого класса доказывается следующая гипотеза Шелаха об ограниченности спектра: для всякой полной счетной теории $T$ выполняется одно из условий: 1) $I(\omega_\alpha, T)\leqslant 2^{2^\omega}$ для всех $\alpha$, 2) $I(\omega_\alpha, T)\geqslant\alpha+1$ для достаточно больших $\alpha$, т. е. спектр $T$ неограничен.