Структура $m$-степеней индексных множеств семейств частично-рекурсивных функций

Изучаются $m$-степени, содержащие индексные множества семейств частично-рекурсивных функций (ч.р.ф.). Пусть $A$ — семейство ч.р.ф., тогда $\Theta A=\{x\mid \varphi_x\in A\}$ — его индексное множество.
Теорема 1. Для любых семейств ч.р.ф. $A_0,\dots,A_n$ существуют семейства $u_0,u_1$ такие, что а) $(\forall i\leqslant n)(\forall j\leqslant1)(\Theta A_i\leqslant_m\Theta U_j)$;
б) $(\forall i\leqslant n)(\Theta A_i\leqslant_m\Theta X)\Rightarrow (\exists j\leqslant1)(\Theta U_j)\leqslant_m\Theta X$;
в) $(\forall j\leqslant1)(\Theta X\leqslant_m\Theta U_j)\Rightarrow(\exists i\leqslant n)(\Theta X\leqslant_m\Theta A_i)$.
Следствие. Множество $m$-степеней, содержащих индексные множества семейств ч.р.ф., не является ни верхней, ни нижней полурешеткой.
С помощью теоремы 1 доказано, что для любых рекурсивно-перечислимых нерекурсивных множеств $\alpha$, $\beta$ и любых чисел $k$, $n$ выполняются следующие соотношения:
а) $k<n\Rightarrow mj^k\alpha<_m mj^n\beta$,
б) $\alpha\leqslant_m\beta \Longleftrightarrow mj^k\alpha\leqslant_m mj^k\beta$
(случай $k=1$ был рассмотрен Ан. А. Мальцевым).