Примитивные группы подстановок, содержащие $2^m$-цикл

Элемент симметрической группы будем называть $2^m$-циклом, $m$ —целое, $m\geqslant1$, если в его разложении на независимые циклы имеется один цикл длины $2^m$, а остальные — единичной длины. Дается полное описание примитивных групп степени $n=2^m+k$, содержащих $2^m$-цикл. В частности, при $n>10$ такими группами, отличными от симметрических, являются лишь: 1) $PGL(2,p)$, $p=2^m+1$ — простое, $k = 0$; 2) $2$-транзитивные группы Фробениуса простой степени, $p=2^m+1$, $k=1$; 3) $PGL(2,p)$, $p=2^m+1$ — простое, $k = 2$. Ранее подобные группы были описаны при $k\geqslant 2$ (см., например, РЖМат, 1976, 1А227). Здесь случай $k\geqslant 2$ получается как прямое следствие п.п. 1, 2 и известного описания строго $t$-транзитивных групп при $t\geqslant3$.