Алгебраические расширения колец и кольца частных

Ассоциативное кольцо $R$, не обязательно содержащее единицу, называется радикальным (корадикальным) расширением своего подкольца $A$, если для каждого $x\in R$ найдется целое число $n(x)\geqslant1$ (полином $p_x(t)\in t\mathbb{Z}[t]$) такое, что $x^{n(x)}\in A(x-x^2p_x(x)\in A)$.
Теорема 1. Пусть $R$ — первичное кольцо без односторонних ниль-идеалов, не являющееся коммутативным. Если кольцо $R$ радикально над своим подкольцом $A$, то их полные кольца частных совпадают.
Теорема 2. Пусть $R$ — первичное кольцо, не являющееся коммутативным, $A$ — его подкольцо и $R$ является корадикальным расширением кольца $A$. Тогда полные кольца частных колец $R$ и $A$ совпадают.
Следствие. Пусть $R$ — первичное кольцо Голди, $A$ — его подкольцо и $R$ является радикальным (корадикальным) расширением $A$. Тогда либо $R$ коммутативно, либо $R$ и $A$ являются порядками в одном и том же простом артиновом кольце.