$3$-характеризации конечных групп

Дан краткий обзор состояния исследований по $3$-характеризациям конечных групп и доказаны следующие результаты.
Теорема 1. Пусть конечная группа $G$ содержит сильно $3$-вложенную подгруппу $H, Q\in SyL_2(H)$. Если $3\in\pi(C(Q))$, то имеет место одно из следующих утверждений: а) силовская $3$-подгруппа в $G$ циклическая и $G$ $3'$-замкнута; б) фактор-группа $G/O_{3'}(G)$ содержит нормальную подгруппу $L$ индекса, вааимно-простого с $6$, где $L$ — группа типа Ри, либо $L\cong L_2(3^{2n+1})$, $n\geqslant 1$; в) $G/O_{3'}(G)\cong\mathrm{Aut}\,(L_2(8))$.
Следствие 1. Если $G$ — простая группа с сильно $3$-вложенной подгруппой $H$, то $3\not\in\pi(Z(H))$.
Следствие 2. Если $G$ — простая группа с сильно $3$-вложенной подгруппой $H$ и порядок силовской $2$-подгруппы из $H$ не превосходит $2$, то $G$ — либо группа типа Ри, либо изоморфна $L_2(q)$, $U_3(2^n)$ или $L_3(2^n)$.